$p$ の値の問題

$p=2$ と $p=3$ の違い

ここまでの例では，連続パスの制限回数 $p$ は本質的でなく，また，パスを $2$ 回続けると同じ手番で元の配置に戻っているので， $p=2$ と $p=3$ の違いはないように思える。しかし， $p=2$ の場合には，パスを選んだプレーヤーは，相手にパスを選んでゲームを終了させる権利を与えてしまう。

パスが $2$ 度続くと，もとの状態に戻っているように見えるのだが，最初は $j=0$ であった状態が $j=2$ に変わっているのであり，同じ状態ではない。

極端な微調整を避けるために，$k,\ell$ の値は $k = \ell = 0.8$ とかなり大きな値を指定し，初期状態での配列が $$ I = \begin{pmatrix} 8.4 & 8.3 & 1.5\\ 11.0 & 5.4 & 5.2 \end{pmatrix} $$ であるゲームの帰結を調べる。

記述を短くするための表現するために「対抗できる」という用語を用いる。定義はしないが，文脈から意味が分かると思う。

安定な配列

指数が小さなものから，安定な配列となる可能性を調べる。

指数が $1$

$\vec{a}$ もしくは $\vec{b}$ の指数が $1$ の場合について，準安定な配列を調べる。

$a_1,a_2,a_3$ の一つしか残存していないならば，$DSP$：
1. $a_3=1.5$ のみ残存の場合，$1.5$ 単独では最小の $b_3=5.2$ にも対抗できない（ $1.5 - k\times 5.2 > 0$ とならない）ことから明らか。
2. $a_1=8.4$, もしくは，$a_2=8.3$ のみが残存の場合，
  1. 単独では $b_1=11.0$ には対抗できないので，$b_1$ は消滅させる必要がある。
  2. 一方，$b_2=5.4$, $b_3=5.2$ 単独では，$a_1, a_2$ のいずれにも対抗できないので，$EX$ を避けるためには $b_2,\, b_3$ の両方が残存している必要がある。しかし，
  3. $b_2+b_3 = 10.6$ には $a_1,\, a_2$ 単独では対抗できないので，
  この場合も $DSP$
$b_2$ だけ残存，もしくは，$b_3$ だけ残存の場合，$DSP$；
1. $b_2=5.4,\,b_3=5.2$ はいずれも，単独では $a_1=8.4,a_2=8.3$ にどちらにも対抗できないので， $a_1$ と $a_2$ は消滅している必要がある。
2. したがって，$a_3$ が一つだけ残存ということになるが，それは $DSP$
$b_1$ のみが残存しているケース： $b_1=11.0$ は，$a_1+a_2 = 16.7$ には対抗できないが，$a_1+a_3,\, a_2+a_3$ には対抗できる。 $$ S_5 = \begin{pmatrix} 8.4 & 0 & 1.5\\ 11.0 & 0 & 0 \end{pmatrix} ,\qquad S_6 = \begin{pmatrix} 0 & 8.3 & 1.5\\ 11.0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$ これ以上の攻撃をすると $DSP$ になることが確かめられているので（ $a_1,a_2,a_3$ の一つだけ残存は $DSP$ ），$S_5$ と $S_6$ は安定。

以上により，$\vec{a}$ もしくは $\vec{b}$ の指数が $1$ の配列では，準安定なものは $S_5$ と $S_6$ のみであり，これらは安定。変則的な添え字を付けているが，これは，後で最終的価値関数の値を比較しやすくするため。

指数が $2$

次に，$\vec{a}$ の指数が $2$ の場合について調べる。

$a_2, a_3$ が残存の場合； $a_2+a_3 = 9.8$ は，$b_2+b_3 = 10.6,\, b_1 = 11.0$ には対抗できるが，$b_1+b_2,b_1+b_3,b_1+b_2+b_3$ には対抗できない。$b_2,\, b_3$ 単独は $DSP$ となることが既に示されているので，準安定なケースの可能性は， $$ S_4 = \begin{pmatrix} 0 & 8.3 & 1.5\\ 0 & 5.4 & 5.2 \end{pmatrix} $$ と，既出の $S_6$ のみ。また，$a_2,a_3,b_2,b_3$ のうちの単独では $DSP$ であることから，$S_4$ は安定。
$a_1,a_3$ が残存の場合も，同様に考えて，準安定なケースは $$ S_3 = \begin{pmatrix} 8.4 & 0 & 1.5\\ 0 & 5.4 & 5.2 \end{pmatrix} $$ と既出の $S_5$ のみであり，$S_5$ は安定。
$a_1,a_2$ が残存の場合，$b_1=11.0$ 単独では $a_1+a_2=16.7$ に対抗できず，また，$b_2+b_3=10.6$ でも対抗できない。一方，$b_1+b_2+b_3= 21.6$ には，$a_1+a_2=16.7$ は対抗できない。したがって，準安定となる可能性があるのは， $$ S_1 = \begin{pmatrix} 8.4 & 8.3 & 0\\ 11.0 & 0 & 5.2 \end{pmatrix}, \qquad S_2 = \begin{pmatrix} 8.4 & 8.3 & 0\\ 11.0 & 5.4 & 0 \end{pmatrix} $$ のみ。$S_1$ と $S_2$ が安定であることも，指数 $1$ で $DSP$ でない場合の分析から明らか。

これら安定な状態，$S_1,\ldots,S_6$ と，初期状態 $$ I = \begin{pmatrix} 8.4 & 8.3 & 1.5\\ 11.0 & 5.4 & 5.2 \end{pmatrix} $$ のそれぞれについて，$\varphi_A$ と $\varphi_B$ の値を計算しておく：

	$\varphi_A$	$\varphi_B$
$S_1$	$3.74$	$2.84$
$S_2$	$3.58$	$3.04$
$S_3$	$1.42$	$2.68$
$S_4$	$1.32$	$2.76$
$S_5$	$1.10$	$3.08$
$S_6$	$1.00$	$3.16$
$I$	$0.92$	$7.04$

初期状態は，プレーヤー $B$ にとって最も好ましいのだが， $A$ にとっては，$S_1,\ldots,S_6$ のいずれにも劣ることに注意。

どれか一つが消滅

ここまでで得た安定な配列 $$ \begin{gather*} S_1 = \begin{pmatrix} 8.4 & 8.3 & 0\\ 11.0 & 0 & 5.2 \end{pmatrix}, \qquad S_2 = \begin{pmatrix} 8.4 & 8.3 & 0\\ 11.0 & 5.4 & 0 \end{pmatrix}. \qquad S_3 = \begin{pmatrix} 8.4 & 0 & 1.5\\ 0 & 5.4 & 5.2 \end{pmatrix} \\ S_4 = \begin{pmatrix} 0 & 8.3 & 1.5\\ 0 & 5.4 & 5.2 \end{pmatrix}, \qquad S_5 = \begin{pmatrix} 8.4 & 0 & 1.5\\ 11.0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad S_6 = \begin{pmatrix} 0 & 8.3 & 1.5\\ 11.0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{gather*} $$ を手がかりに， $\vec{a}$ もしくは $\vec{b}$ どちらか一方の指数が $3$ の配列 $A_1,A_2,A_3$ と $B_1,B_2,B_3$ について調べる：

$$ \begin{gather*} A_1 = \begin{pmatrix} 0 & 8.3 & 1.5\\ 11.0 & 5.4 & 5.2 \end{pmatrix},\quad A_2 = \begin{pmatrix} 8.4 & 0 & 1.5\\ 11.0 & 5.4 & 5.2 \end{pmatrix},\quad A_3 = \begin{pmatrix} 8.4 & 8.3 & 0\\ 11.0 & 5.4 & 5.2 \end{pmatrix}\\ B_1 = \begin{pmatrix} 8.4 & 8.3 & 1.5\\ 0 & 5.4 & 5.2 \end{pmatrix},\quad B_2 = \begin{pmatrix} 8.4 & 8.3 & 1.5\\ 11.0 & 0 & 5.2 \end{pmatrix},\quad B_3 = \begin{pmatrix} 8.4 & 8.3 & 1.5\\ 11.0 & 5.4 & 0 \end{pmatrix} \end{gather*} $$

これらの配列がゲームの途中で最初に現れた時点での状態では，$j=0$ であり，

$A_1,A_2,A_3$ はプレーヤー $B$ の攻撃によってのみ生じるので，手番は $A$
$B_1,B_2,B_3$ はプレーヤー $A$ の攻撃によってのみ生じるので，手番は $B$

となっている。

$B_1,B_2,B_3$ について

$DSP$ を避けたいプレーヤー $B$ は， $A$ の都市をひとつだけしか攻撃できない。

状態 ${}^{B}_{0}{B_1}$ において，プレーヤー $B$ が $a_1 = 8.4$，もしくは，$a_2=8.3$ を攻撃しても，結果は安定。プレーヤー $B$ はより効果の大きな $a_1=8.4$ を攻撃することを選ぶので，帰結は安定な配列 $S_4$ であり，$\varphi^{fl}_A = 1.32$.
状態 ${}^{B}_{0}{B_2}$ において，プレーヤー $B$ は，
- $a_3 = 1.5$ を攻撃すると，結果は安定な配列 $S_1$ であり，$\varphi^{fl}_B = 2.84$.
- $a_1 = 8.4$ を攻撃すると，この場合，プレーヤー $A$ は $b_3$ を攻撃して安定な配列 $S_6$ に至ることを選ぶので，$\varphi^{fl}_B = 3.16$.
- $a_2 = 8.3$ を攻撃した場合も同様で，帰結は $S_5$ で，$\varphi^{fl}_B = 3.08$.
プレーヤー $B$ は，$2.84,\,3.16,\,3.08$ を比較して $a_1$ を攻撃することを選ぶ。したがって，帰結は $S_6$ であり，$\varphi^{fl}_A = 1.00$.
状態 ${}^{B}_{0}{B_3}$ の場合も，プレーヤー $B$ は $a_1$ を攻撃することになり，${}^{B}_{0}{B_2}$ と同じ帰結となる。$\varphi^{fl}_A = 1.00$.

以上により，状態 ${}^{B}_{0}{B_1},\, {}^{B}_{0}{B_2},\, {}^{B}_{0}{B_3}$ はいずれも安定ではなく，帰結は， ${}^{B}_{0}{B_1}$ からの帰結は $S_4$,　　 ${}^{B}_{0}{B_2}$ と ${}^{B}_{0}{B_3}$ からの帰結は $S_6$ ということがわかった。

プレーヤー $A$ にとって最も好ましい帰結は，$S_4$ と$S_6$ の価値関数 $1.32,\,1.00$ を比較して， ${}^{B}_{0}{B_1}$ からの帰結 $S_4$, という結論が得られる。

したがって，プレーヤー $A$ が初期の配列 $I$ に対しての攻撃を選択するならば，必ず，

$b_1$ を攻撃して配列を $B_1$ に変え，帰結は $S_4$

という結論が得られる。 $A$ が攻撃を選択するならば という条件付きであることに注意。

$A$ は初手で $b_2, b_3$ を同時に消去することもできるが，その場合の帰結は $S_6$ であり，$A$ にとって $S_4$ より劣る。

$A_1,A_2,A_3$ について

$$ \begin{gather*} S_1 = \begin{pmatrix} 8.4 & 8.3 & 0\\ 11.0 & 0 & 5.2 \end{pmatrix}, \qquad S_2 = \begin{pmatrix} 8.4 & 8.3 & 0\\ 11.0 & 5.4 & 0 \end{pmatrix}. \qquad S_3 = \begin{pmatrix} 8.4 & 0 & 1.5\\ 0 & 5.4 & 5.2 \end{pmatrix} \\ S_4 = \begin{pmatrix} 0 & 8.3 & 1.5\\ 0 & 5.4 & 5.2 \end{pmatrix}, \qquad S_5 = \begin{pmatrix} 8.4 & 0 & 1.5\\ 11.0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad S_6 = \begin{pmatrix} 0 & 8.3 & 1.5\\ 11.0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{gather*} $$ $$ \begin{gather*} A_1 = \begin{pmatrix} 0 & 8.3 & 1.5\\ 11.0 & 5.4 & 5.2 \end{pmatrix},\quad A_2 = \begin{pmatrix} 8.4 & 0 & 1.5\\ 11.0 & 5.4 & 5.2 \end{pmatrix},\quad A_3 = \begin{pmatrix} 8.4 & 8.3 & 0\\ 11.0 & 5.4 & 5.2 \end{pmatrix} \end{gather*} $$

配列が $A_1,A_2,A_3$ の場合，$A$ がパスをしたとしても，$B$ は（$DSP$ を避けたいので）パスしか選択できない。したがって，$p$ の値が許すならば，$A$ はパスで様子見をすることもできる。しかし，$B$ から反撃を受けることなしに攻撃することができるならば，パスを続けてこのままゲームを終わらせることは（$A$ にとって）合理的でない。

$A_1,A_2,A_3$ のそれぞれについて，プレーヤー$A$ の合理的な行動を調べる：

状態 ${}^A_0{A_1}$ において，プレーヤー $A$ は，$DSP$ を避けながら，価値関数を改善する行動として，以下の選択肢を持つ：
- $b_1 = 11.0$ を攻撃：帰結は，安定な配列 $S_4$ であり $\varphi^{fl}_A = 1.32$.
- $b_2 = 5.4$ と $b_3=5.2$ の両方を攻撃：帰結は，安定な配列 $S_6$ であり $\varphi^{fl}_A = 1.00$.
$1.32$ と $1.0$ を比較して，$b_1$ を攻撃することを選ぶので，
状態 ${}^A_0{A_1}$ の帰結は $S_4$ であり，$\varphi^{fl}_B = 2.76$.
状態 ${}^A_0{A_2}$ についても同様であり，プレーヤー $A$ は，
- $b_1 = 11.0$ を攻撃：帰結は，安定な配置 $S_3$ であり $\varphi^{fl}_A = 1.42$.
- $b_2 = 5.4$ と $b_3=5.2$ の両方を攻撃：帰結は，安定な配置 $S_5$ であり $\varphi^{fl}_A = 1.10$.
の $1.42$ と $1.10$ を比較して，$b_1$ を攻撃することを選ぶので，
状態 ${}^A_0{A_2}$ の帰結は $S_3$ であり，$\varphi^{fl}_B = 2.68$.
状態 ${}^A_0{A_3}$ において，プレーヤー $A$ が$DSP$ を避けながら攻撃する選択肢は，
- $b_2 = 5.4$ を攻撃：帰結は，安定な配置 $S_1$ であり $\varphi^{fl}_A = 3.74$,
- $b_3 = 5.2$ を攻撃：帰結は，安定な配置 $S_2$ であり $\varphi^{fl}_A = 3.58$
のふたつなので，$3.74$ と $3.58$ を比較して，$b_2$ を攻撃することを選ぶ。したがって，
状態 ${}^A_0{A_3}$ の帰結は $S_1$ であり，$\varphi^{fl}_B = 2.84$.

以上により，状態 ${}^A_0{A_1},\, {}^{A}_{0}{A_2},\, {}^{A}_{0}{A_3}$ はいずれも安定ではないが，プレーヤー $B$ にとって最も望ましい帰結は，$2.76,\,2.68,\,2.84$ を比較して， ${}^A_0{A_3}$ からの帰結 $S_1$ という結論が得られる。

したがって，プレーヤー $B$ が初期の配列に対しての攻撃を選択するならば，必ず

$a_3$ を攻撃して配列を $A_3$ に変え，帰結は $S_1$

という結論が得られる。この場合も， $B$ が攻撃を選択するならば，という条件付きである。

少し変わった先手有利

$p=2$ の場合

それでは， $p=2$ として，ゲームの展開を調べてみよう。

$A$ が先手の場合

プレーヤー $A$ は，初手で攻撃をするならば，既に調べたように $b_1$ を攻撃することを選ぶので，帰結は $S_4$ となる。パスをする選択肢もあるのだが，その場合，プレーヤー $B$ にパスをしてゲームを終了させる権利を与えてしまう。初期配列 $I$ は $A$ にとって好ましいものではないのだが， $B$ にとっては，最も好ましい配列となっているので， $A$ がパスをした場合， $B$ もパスを選ぶことになる。したがって，プレーヤー $A$ は初手で攻撃をすることになり，ゲームの帰結は $S_4$ となる。

$B$ が先手の場合

プレーヤー $B$ は，初手で攻撃するならば，既に調べたように $a_3$ を攻撃することを選ぶので，帰結は $S_1$ となる。 $B$ がパスをすると， $A$ は攻撃を選択せざるを得なくなり，帰結は $S_4$ となる。プレーヤー $B$ にとって，$S_4$ より $S_1$ の方が好ましいので， $B$ は初手で攻撃をすることになり，ゲームの帰結は $S_1$。

先手後手の相違

以上により，先手後手の違いが生じることわかった。ただし，これは，少し変わった状況であり，プレーヤー $A$ にとっても，また，プレーヤー $B$ にとっても，$S_1$ の方が $S_4$ より好ましい。したがって，

プレーヤー $A$ にとって，プレーヤー $B$ が先手である方が望ましく，また，
プレーヤー $B$ にとっても，プレーヤー $B$ が先手である方が望ましい

ということになる。

$p=3$ の場合

プレーヤー $A$ は， $p=2$ の場合には，

$B$ に手を渡して先手の権利を譲る

という手段を持たない。うっかりパスをしてしまうと，プレーヤー $B$ はパスをして即座にゲームを終了させてしまう。

一方， $p=3$ の場合，先手の $A$ は，パスをしても，次のチャンスで攻撃をする権利を持つ：

$A$ が先手

プレーヤー $A$ は，初手でパスを選択する。プレーヤー $B$ もパスを選ぶことができるのだが，その場合，$j=2$ の状態でプレーヤーに決断を迫ることになってしまう。この状態で $A$ がパスをするとゲームは終了してしまうので，プレーヤー $A$ は攻撃により帰結 $S_4$ を選ばざるを得ない。しかし，これは，プレーヤー $B$ にとっても，帰結 $S_1$ に劣るので， $B$ は，攻撃により帰結 $S_1$ を選択する方が良い選択となる。したがって， $A$ が先手の場合の帰結は，$S_1$ となる。

$B$ が先手

プレーヤー $B$ が先手の場合も， $B$ が初手でパスを選ぶと，$j=1$ の状態で決断を迫られたプレーヤー $A$ を，

パスをすると $B$ に「パスによりゲームを終了させる権利」を与えてしまう

という状況に追い込んでしまう。その結果は帰結 $S_4$ となるので，先手の場合にも，プレーヤー $B$ は攻撃をせざるを得ない。したがって，帰結は $S_1$ となる。

$p=3$ の場合の結論

以上により， $p=3$ の場合は，先手後手に影響されず，帰結は $S_1$ となる。

トリック

$p=2$ と $p=3$ で帰結が異なる例を作ったわけだが，トリックは

$p=3$ の場合には，手を渡すという高等戦術が可能になる

ということ。

	\(\varphi_A\)	\(\varphi_B\)
\(S_1\)	\(3.74\)	\(2.84\)
\(S_2\)	\(3.58\)	\(3.04\)
\(S_3\)	\(1.42\)	\(2.68\)
\(S_4\)	\(1.32\)	\(2.76\)
\(S_5\)	\(1.10\)	\(3.08\)
\(S_6\)	\(1.00\)	\(3.16\)
\(I\)	\(0.92\)	\(7.04\)

\(p\) の値の問題

\(p=2\) と \(p=3\) の違い

安定な配列

指数が \(1\)

指数が \(2\)

どれか一つが消滅

\(B_1,B_2,B_3\) について

\(A_1,A_2,A_3\) について

少し変わった先手有利

\(p=2\) の場合

\(A\) が先手の場合

\(B\) が先手の場合

先手後手の相違

\(p=3\) の場合

\(A\) が先手

\(B\) が先手

\(p=3\) の場合の結論

トリック